幾何ブラウン的にはDeltaはN(d1)で、d1の中身がσ√t/2が残るからとも言えるのですがね。
それではただ単に本の内容を覚えているに過ぎない。
私がDerivativeの経験者として、求める答えは、直感的解法。
Zero Driftだから、将来の株価の期待値は現値に等しい。Volatilityを無視すれば、つまり、
Volatility->0にすると、絶対ATMの上にいるから、ATM越えの確率はピッタ50%でDeltaは
1×確率50%で50%と言える。
一方、逆の想定を考える。
Call Optionの最大値は株に等しい。(Volatility->∞ならPremiumはSに近づく)
ゆえに、ボラが高ければ高いほど、株になるわけで、株は当然Delta1だから1に近づく。
Volatitlityが非負である以上、Deltaは0.5から1の間に居そうなので50%超。
これがマーケット的にスマートな説明だと思う。
ちぃと理論的なので、私にとってはベストではないがこんな風にも答えられる。
Volatility無限大と同じような効果で、長～いオプション見てると株価が幾何ブラウンという
想定が直感的に相当キモいんだがあえてそれを考える。
幾何ブラウンを想定して、100年後の株価はどういう分布になっているか?
長くすればするほど、モンテカルロで発生させたほとんど全ての株価は0近辺に張り付き、
一点だけアホみたいに成長しているというようになるだろう。
0Driftだと期待値100%、そして、Volatilityを100年間維持するためには上と下にかなり触れて
なければならない。下は0で抑えられてるから、平均から外れた異常値は上で取るしかない
ので、一点だけ上にぶっ飛ばし、ほとんどが下に集中することでVarianceを保つ。
これは究極の状態だが、Volatilityが高い、あるいは、期間が長い状況下では下に居る確率
が99%になる。だから確率は50%ではなく、下に居る確率が高いからATM Strikeは50%を
超えるともいえる。
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