FX Optionの対称性

為替のオプションは、EURJPYのEUR Call JPY Putと表記されるように対称性が美しい。
であるから、EURJPY=130という尺度を持って見つめようが、JPYEUR=1/130で見ようが
同じものでなければならない。

150円で1EUR買う権利を1mil EUR分

EURJPY EUR Call
EUR 1mil Notional
Spot EURJPY=130
Strike EURJPY=150

等価な対称的オプション、ある決まった値段でEURを買い、1円を売る権利、
すなわち、Spot JPYEUR=1/130=0.007692で見た場合のオプションを定義し、
PremiumとGreeksの関係を説明せよ


JPYEUR JPY Put
Strike JPYEUR=1/150=0.006667
JPY 150mil Notional

が等しい。

Premium、Vega、Rate Sensitivityなどは全て
EUR Call × EUR Notional = JPY Put × JPY Notional × EURJPY
の関係になる。

一方Deltaはどのようになるのだろうか?

X=EURJPYとして、上式に対してd/dXを施すので
d/dX(EUR Call × EUR Notional) = d/dX(JPY Put × JPY Notional × EURJPY)

両辺のNotionalは単位は違えども定数なので、微分の外へ
d/dX(EUR Call)× EUR Notional = d/dX(JPY Put × EURJPY) × JPY Notional

右辺は積の微分で展開 dEURJPY/dX=1であるから
EUR Call Delta × EUR Notional 
= {d/dX(JPY Put) × EURJPY + JPY Put} × JPY Notional

Y=1/X=JPYEURと置くと
= {d/dY(JPY Put) ・(dY/dX)× EURJPY + JPY Put} × JPY Notional

dY/dX=-1/X^2だから
= {(JPY Put Delta) ・-1/(EURJPY)^2 × EURJPY + JPY Put} × JPY Notional
=(- JPY Put Delta / EURJPY + JPY Put) × JPY Notional
(=- JPY Put Delta × JPYEUR + JPY Put) × JPY Notional

ついでにEUR Call Gamma
(- JPY Put Delta × JPYEUR + JPY Put) × JPY Notional
の上式にもう一度d/dXを施し、関係ない定数のJPY Notionalを略して書けば
d/dX(- JPY Put Delta × JPYEUR + JPY Put)

同様にYで置換微分する。
=d/dY(- JPY Put Delta × JPYEUR + JPY Put)・(dY/dX)

第一項も同様に積の微分で展開。
=(- JPY Put Gamma × JPYEUR - JPY Put Delta+ JPY Put Delta)・(dY/dX)

やべ、美しい・・・
=(- JPY Put Gamma × JPYEUR )・(-1/(EURJPY)^2)

エクスタシー、ドーン。
=JPY Put Gamma × JPYEUR ^3

となる。

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