Multi Underlying OptionのGamma Trading

前回書いたCrossed Gammaの記事ですが、単語だけ出しておいて
Crossed Gammaとは? (もしくはCross Gammaとは? でも良いのですが)を
まったく説明しておりませんでしたので、多数の読者の皆様から、お問い合わせが・・・

ねぇな。まったくないな。皆無!

既にわかっている読者か、わからん人はあの記事は無視か。めげないよ。俺は。

Gamma Tradingとは?
くらいであれば、Internet上で調べることも可能(日本語は厳しいか?)だと思われるので、
ハイソな読者の皆様にとっては既知としましょう。

ですので、今日はいきなり Cross Gamma Tradingとは? の説明をし、ついでに
次元を縮小することで、Gamma Tradingも同時に語ります。
Cross Gamma Tradingを語ってるヤツは、世界でも流石にWilmott以外は居ないだろ。

あるDerivative Pに対して、Δを施したものがDelta、ΓをGammaと呼んでいる。
単純なVanilla、もしくはSingle Underlyingの場合は、一番左上だけを見ればよい。
delta-vector.JPG  Cross-Gamma-Matrix.JPG
Deltaは資産数のn次元Vector、Gammaはn×nのMatrixとなる。

これでDeltaを計算すると株数が出るので、-Delta株保有すれば、株価の変化によって
Derivativeと株を合わせたPortfolioの損益は動かなくなる。
これをDelta Neutralと呼ぶ。

ところが、これはDerivativeなのでGamma(2次微分)がある。
株が動くとDeltaが変わるので、Gamma分だけは株をリバランスしないとDelta Neutralを保つことができない。

今ここで株価の変分Vector Cをこのように定義すれば
Price-Change-Vector.JPG
あるDerivative Pの株価による変分ΔPは ΔP=Δ・C+1/2*Ct・Γ・C のように記述でき、これだけみれば
n次元であることを忘れてしまうかのごとく1次元と同じである。 (CtはCの転置ベクトル)

あえてこう書くとわかりやすいと思うのだが
ΔP=(Δ+1/2*Ct・Γ)・C に対し、-Delta株保有するということは
(Δ-Δ+1/2*Ct・Γ)・C=1/2*Ct・Γ・Cとなり、これが、株ではHedgeできないCross Gammaの正体となる。
Ct・Γの形を見ると各成分iが下記のようになるVectorで
position-gamma.JPG
i=1を入れた場合が株S1のGammaとなるわけで、表記の通り、他の株の動きがS1のGammaに影響して
いる
ことがわかる。

具体的にn=3資産の場合でCross Gamma Matrix Γが下記のような3×3の対称行列とする。
3dim-g-matrix.JPG
そして、株価の変動Vector C1=(1%,2%,3%)の強Correlation Market、それからまた別の
C2=(1%,-2%,-3%)という弱Correlation Marketの場合における
Ct・Γは、それぞれ、(-0.2%,1%,0.9%)と(2.2%,-2.2%,-1.9%)
となり、第一成分のS1については同様に1%上昇の動きであったにも関わらず、
C1シナリオでは-0.2%すなわちGamma Short。C2では2.2%とGamma Long
となっていることがわかる。

Cross Gamma Matrixは、往々にして例のように対角成分が大きく、非対角成分が小さく符号が
反転している
ことが多い。

Plain Vanilla Optionを使ってHedgeできるのはこのCross Gamma Matrixの対角成分のみなので、
非対角成分から来る要素は誰も触れることができないExoticだけが持っているRiskであり
それをEnjoyすることを、Cross Gamma Tradingと呼ぶのである。


と、どうも偉そうになってイカンな。敬体から書き始めてるのに、いつの間にか常体になってしまいます。

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