とあるFX OptionのPricing Systemの挙動を見ているのだが、そのSystemのモデル
(非公開Logic)を推定しよう。
Barrier 70%のKI Putを計算しようとすると、「それはRKIです!」とSystemが突っ込みを入れてくるので
「この世にはReverse以外のBarrier Optionはねぇ!」と一人ボケをつぶやく。
Equity諸君は、為替の人はRKIとKIを一緒だと思っていないことを覚えておいた方が良いだろう。
Barrier OptionのPricingだがATM Volatilityを使った解析解と非公開Logicとが同時に示されて
おり、Surface、Skew、Smileを反映させているかのごとくのPriceが見える。
推定プロセス1
1yearでも5yearsでもほぼ変わらず瞬間で計算できる。
妙に早い・・・。解析的アプローチ? Local Volatilityでここまで早く計算できるのだろうか?
推定プロセス2
VolatilityのインプットはATM,25D-RR、25D-Flyの3つ。色々入れて挙動を見る。
しかし、挙動以前に、インタフェースでモデルの構造の大体はわかる。
推定プロセス3
1yearのBarrierだが、6MのVolatilityのSensitivityはどうなるのだろうかと思って動かしてみた。
あれ? 感応度なし。Barrierは、経路依存オプションですが?
俺の入れたVolatility Surfaceは、明らかにArbitrage Freeが崩壊しているはずなんだけど、
どうして計算できるのかな?
ダメダメ、隠しても。ばれちゃうぞー。非公開であってもLogicのコア部分の推測終了。
モデル非公開ってケチくささがちょっとムカついてるんで俺が公開しちゃおう。(あくまで私の推測である)
各成分の一次微分、DeltaとRho(金利)については、SpotとSWAPでHedgeすることを想定しているだろう。
VolatilityについてはOptionを使ってHedgeすることになる。
Vega Neutralを目指すのであれば、StraddleをVega等量売ればよい。
しかし、BarrierはExoticなのでVegaの挙動として
株価が動いた時は、Vanna＝dVega/dS、
Volatilityが動いた時は、Volga＝dVega/dσ
がVanillaと著しく違うことが予想され、StraddleだけでVega Neutralを保つことはできないだろう。
そこでVega,Vanna,Volga Neutral=0 を目指せば、株価、Volatilityに多少の変化
が生じたとしてもVolatility Exposureの発生を抑えることを期待できる。
3つのGreeksをNeutralにするために必要なVanillaは3つ。(根拠はインターフェースが3変数)
各Vanilla(A,B,C)のVega,Vanna,Volgaを下記のような縦Vectorで表記し、
Risk Vectorと呼ぶことにしよう。Risk Vector3つをくっつけて3×3行列Mを定義する。
Barrier OptionのRisk Vector X
VanillaのA,B,CのBarrier Option1に対する比率Vector W
X=M*Wを満たすWが3つのGreeksをNeutralにするためのWeight Vectorであるから
以下の3元一次方程式(中学生でやる)を解けば良い。
Wが確定したので、次に、3つのVanilla OptionのOffer-Bid Spreadも同じくVectorでSpと表記するとしよう。
彼らの定義する理論値TPはATM Volatilityを使ってだした解析解とWとSpの内積を足したもので計算
されていると推測できる。
ここで言うA,B,Cの3つのVanillaはTradableなものであれば何でも良く、単体のオプションである必要は無い。
為替の世界では、ATM Straddle、25D-RR、25D-FLYでも入れておくのが妥当なのだろう。
この3つをWに応じてHoldしたPortfolioの構築をSemi Static Hedgeと言い、当面の間、Neutralにした
3つのGreeksは保たれることが予想できる。
Straddle、RR、FLYと合計3Trades延べ8個のVanillaが登場する仰々しい取引は要らず、
BarrierをはさむSpreadを組めば、2個のVanillaで、それなりの精度でVega Flatを保てるのであるが、
Underlyingの為替はRRとFLYがダイレクトに取引しやすい環境のようなので、黙っておこう。
このPricingの一番の問題点は、経路依存性ということをとことん無視したPricingとリスク認識で
あることは指摘しておきたい。
【関連記事】
2009.06.30: FX Optionの対称性
2009.05.12: FX Optionの 25Deltaって?
2008.10.16: Butterflyとは? Volatility Smileの存在理由
Comments [14]
Deriva Freakさん
こんにちは。初めて投稿します。
ハードコアなデリバティブブログですね。愛読させてもらっています。
さて今回の記事ですが
Vanna-VolgaでOneTouchをプライスするときにno-Touch確率で
Smile/Skew の考慮分を調整するかと思うのですが実際経路依存性の部分を
どう考えたらいいのかずっと引っかかっていました。
Staric Replication の考え方とVanna-Volgaを組み合わせると
KOしたときのSkew 形状を含めて上手にヘッジできるかと考えたりも
したのですがまだもやもやしているところです。
実際Barrierオプションが打ち込まれたときにどういったヘッジをするかは
人それぞれだと思いますがどういった方法が効果的だとお考えですか？
おっ、嬉しいコメントありがとうございます。はじめまして。
正解は無いし、一般的なことも言えないものです。
ケチって正解を書かないのではなく、本気でポジションを見ないとそれは言えないと考えてます。
Underlyingの流動性
Option(Vanilla)の流動性
Exotic(Barrier)のロットと数
Traderの数->Dynamic Hedgeの頻度
とか。
ポジションを見るといっても、Barrierの位置とVolatilityという観点だけでなく
マーケット状況とビジネス状況を踏まえた上での判断になると思います。
ところで、Deriva Freak様の文面から察するに為替の人ですね? 違ったらごめんなさい。
Deriva Freakさん
お忙しい所返信ありがとうございます。
そうですよね。正解はない中で状況によってで打てる最善の手を打つ
という所に奥深さを感じたりもします。
私はどちらかというと金利寄りで為替は理論武装をしているところです。
エキゾさんは株デリバの方でしょうか？
VolSurfaceのリスクコントロールはとても奥が深く
いろいろと情報交換させて頂けたらと思います。
私は決して忙しい立場ではないんですけどね。自分では何もしませんから。
ですよね。お言葉遣いからして株のかほりが弱かったものですから。
私はEquity Derivativeで、株至上主義なので、金利・為替系の方々に対する挑戦的な記事も多く
ムッとするかもしれませんが、色々と教えていただければ幸いです。
是非是非情報交換しましょう。私の知らない日本のデリバティブプレーヤーと会話ができるような場
にしたいと思って一般公開しています。
Deriva Freakさん
たのしみです。こちらこそ色々教えて頂けたらと思います。
ディスカッションの類は物をストレートに言ったほうがいいと思いますので
それでムッとするという感覚はないです。
エキゾさんはシンガポールにいらっしゃるんですよね。
昨今の金融危機で為替エキゾのAssetSideのフローは激減した感があるのですが
アジアのマーケットは如何でしょうか？
原株のようなHit&Awayの効きそうな所には投資資金が戻りつつあるのかなと思いますがデリバティブともなるともう少しかかるのかなと。
ただ、台湾の投資家なんかは複雑な仕組みが大好きだという話も聞いていますので
そろそろしびれを切らしていたりしないでしょうか。
takasoh norikoさん
デリバティブ理論理解不足で、Deriva Freakさんがいう
1) Vanna-VolgaでOneTouchをプライスするときにno-Touch確率でSmile/Skew の考慮分を調整する
2) Staric Replication の考え方とVanna-Volgaを組み合わせるとKOしたときのSkew 形状を含めて上手にヘッジできるか
の二点は理解できないが、エキゾさんかDeriva Freakさんもう少し説明をしていただけますか？
>投資資金が戻りつつあるのかなと思いますがデリバティブともなるともう少しかかる
その通りです。
Worst of XXや早期償還条項付で長いPutを売るようなストラクチャーは激減しております。
一方で、株に近い商品、超短期のPut Short
(別名Reverse Convertible,日本語EB,Target Buy,広東語ELN)
は回復の兆しが見えております。
Takasoh様はじめまして。コメントありがとうございます。
1)以前紹介したExotic Parityの応用版です。
http://www.ichizoku.net/2009/01/exotic-parity-1.html
で書きましたが
Vanilla = Knock-In + Knock-Out
なので、
Discount Factor＝No touch+One Touch
となります。
One Touchを考える時はDF-No TouchなのでNo Touch確率でと言っています。
2)Vanna-Volga法はここで私が紹介したように、同一の満期のオプションを使って、
Vega,Vanna,VolgaをNeutralにするWeightを計算する方法です。
概ねこれでStaticにHedgeできるのですが、Barrier近傍では、やはりVolatility Neutralを保つことは
できません。その時、どうするかを懸念しているのがDeriva Freakさんのコメントだと思います。
Barrier近辺のRisk ManagementはExoticの永遠の命題で、正解は無いし、Static Hedge
(一度やれば完全なHedge)などありません。
適切な答えになっていますでしょうか?
そうでない場合、お手数ですがまた質問いただければ幸いです。
takasoh norikoさん
エキゾさんの仰ることは分かります。ただ、元の質問の
1)について
vanilla optionsの組み合わせでbarrier optionのvega, vanna, volgaを実現することが可能で、そのvanilla optionsをプライシングする際、Barrierの性質を無視して(No tough?)skew, smileを調整して良いかと
理解しましたが、エキゾさんは捉え方が違うようです。
BSの解析解を使っている以上、skew/smileの調整の議論はそんなに意味がありますかね？
2)について
ここではモデル上経路依存を考慮しないのは問題でskewの議論は本質的ですか？
結局Deriva freakさんが何を言いたいですか？
Deriva freakさん
わたしの理解はこんな感じです。説明不十分であれば教えてください。
自分でもいろいろ意見交換したい部分です。
1)
Vanna-Volgaによるのヘッジポートフォリオはヘッジ対象のデリバティブが
ノックアウトした場合には不要になるためNotouch確率で重みを調整しながら
リバランスすべきだという考え方です。
Value 自体はBSの公式（ボルはATM or DeltaNeutral) にSkew/Smile を
調整します。
Barrier = Barrier_BS(Vol_ATM)
+ Notouch確率 * (Vanna_cost + Volga_cost)
Vanna_cost および Volga_cost にはそれぞれVannaとVolga のリスクがあります。
このValueを元にエキゾさんのおっしゃっていたやり方でヘッジポートフォリオをのWeightを計算します。
2)
Static Replication デリバティブのVolが一定の場合の原資産の経路依存性を
ヘッジする際に有効だと思っています。
具体的にはアップアンドアウトコールを売った場合 同じ満期 ストライクのコール
を買いバリアをまたいだ鏡像をストライクとするプットを売り
調整用にバリアの先をストライクに持つコールをいくつか買ってアップアンドアウト
コールとヘッジポジションのバリュー vs 原資産価格のプロファイルが
バランスするように組みます。
これには問題がありノックアウトしたときのSkew の形状により(ボルの経路依存性) ヘッジポジションを解消したときに余計なP/Lが発生してしまいます。
このボルの経路依存性とボルと原資産価格の相関をVanna-Volga的にDynamicに
ヘッジできないかということです。
takasou様、おアツイコメントありがとうございます。
時流に合わせたお洒落なお名前に気付くまで1時間ほど要してしまいましたが
お見受けするにEquity Derivativeの同志ですね? 違いますでしょうか?
Deriva freak様、ご丁寧な解説ありがとうございます。
まだ未公開の記事で書いたことなんですが、為替というのはオプションにも高い流動性があり、RRやFLY
でVanna・Volgaの取引をするという感覚だと思います。また、Hedged Portfolioの再構築
にコストがかからないことから、その都度場当たり的にTradingがしてもEquityほどのダメージは無く、
経路依存性に対する意識が低いのだと思います。ですから経路依存性のリスクは承知の上で、Vanna
・Volgaを数値的に捉え、Flatにしたいと考えたのがVanna・Volga Methodの発祥ではない
かと思うのです。
BSでBarrier Optionって、Volatilityをどう入れるのかは、かなりな経験と勘を要しますね。(笑)
今夜もういっちょBarrierの話をしようと思っているので、また色々アツイコメントいただければ幸いです。
Deriva freakさん
おおっ。続きを楽しみにしています。
上記の件ですがこの話はずいぶん理想的な環境を想定してます。
実際ポートフォリオのレベルで個々の取引をみてやることは出来ないと思いますし
はじめにエキゾさんがおっしゃっていたように運営方針を決めるファクターは
色々あると思います。
ブックの中でどのようなリスクを重点的に見ていくかを考える上での手がかりとして
使えるかなといった話だと思っています。
takasoh norikoさん
私はデリバティブが素人なので、Deriva Freakさんに具体的に説明していただいて、やっとなんとなくわかった気がします。
経験がないので、良くわかりませんが、バリア・オプションのヘッジはある程度volを管理しつつ（例えば、プロテクションを買っておくとか）、Barrier近辺で相場観も交えて、Gammaで勝負するというのは私のイメージですが、そんなに単純ではなさそうですね。
最近深夜になると頭が回転しないので、今日の新しいbarrierの話を読む気力がなく、明日にします。
色々教えていただいて、ありがとうございました。
>Barrier近辺で相場観も交えて、Gammaで勝負
そうですね。でも大事なのは、数値に踊らされず、オプションを見ることです。
エキゾチック自身を見つめる。これを忘れてはなりません。
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