50%　Knock-In PutのPremiumって実現できるの?＠最終章 LVの要請

Peter CarrのアプローチはDermann Kaniと大分違いましたよね…確か。
初めて読んだ時は、Carr君、頭良いねぇ君ぃと思いました。
遠い記憶ですが、非Reverseは鮮やかなんですが、Reverseはダメだったような気がします。
でも残念ながらこの世にはReverse型のBarrier Optionしか存在しないのです。

珍しく私の記憶は正しかったですか。良かった良かった。
Carr君、頭良さそうだけど、Marketのかほりがしないアプローチですよね。
結局Exoticの完全なる複製はできないので、なんらかのErrorが発生するわけで
それがどういう時に発生するのかを考える必要があるということです。

Mx様はじめまして、久しぶりのプロコメントありがとうございます。
休日中でもExoticを考える、素晴らしい限りで、同志を感じます。

AC：Autocall
KO：Knock-Out　当ブログではKnock-OutやBarrierは連続参照を表現する時に使いますが、
一般にはACは離散参照が多いように思われます。その場合はTrigger Point、あるいは離散
参照KOなどと表現するようにしています。

>ACでKOした際、Hedge側が不要
>KO確率でVanillaの量は調整し、なだらかに解消する

最もシンプルなVanilla Put × ACであったとしてもPut Short×KO確率ではVegaとGammaが全く
合わないはずです。(Vega NeutralだとGammaがあまり、Gamma NeutralだとVegaがあまる。)
ACしない場合、つまり満期までのPutの流動性にも寄りますが、部分的に当てて、残りはもっと
手前でRisk Reversalなどを組んでVannaを調整すべきでしょう。
Single Stockや単発案件だとなかなかRRも組みにくく悩ましいでしょうが・・・。

KO105%　これは状況によりますねぇ。
超短期で最初の参照があって95%の離散参照だったりすると時として、いきなり
こっちのポジションがガンマショートから始まりますよね。
イニシャルヘッジのDelta Exposureが150%超みたいな。こういうポジションが嫌いなら
105%など上の方がその傾向が弱く、Favorなのかもしれません。
私からすればRisk Loverなので、強烈ガンマショートが最初からあるようなポジション
大好きですよ。

エキゾ様ご返信ありがとう御座います。

ご指摘の通り、離散参照KOでFixingに近づくにつれIntrinsicに近づき、ガンマショートがキツくなるようなものを想定しておりました。

>Put Short×KO確率ではVegaとGammaが全く合わないはずです

たしかに紙に書いてみるだけでも、Put Short×KO確率ではOption Valueの形状見てすぐに違うと気づきました。もっとよく考えてから質問するべきでした。

>手前でRisk Reversal
とても勉強になります。確かにこれだとKOへのプロテクションにもなって良い気がします。Call Spreadを組むのと、どちらが良いかまた考えたいと思います。

またコメントさせて頂ければと思います。

>もっとよく考えてから質問するべきでした。
いえいえ、たかがブログですから、気軽にどうぞ。

105%だろうが95%だろうがUP&OutのTrigger付のPutの場合、VegaのPeakはStrikeより下目に現れます。
上行ったら消滅するので当然と言えば当然なんですが・・・。

>Call Spreadを組むのと、どちらが良いか
Trigger直前のGamma Shortをカバーするには確かにCall Spreadが適切とは思いますが、リスクを排除し
すぎると取引コストがかさみませんか?　ここはExoticのこらえどころ。
大域的にとらえれば、一見したGamma ShortがLongに見えてきますよ。
株価をStrikeの50%水準からKnock-Out水準まで動かしてみてください。
少しずつ動かしているのが現在見ているGammaでしょうが、おおきーく動かすとGammaはLongに見えて
くるでしょう。

>VegaのPeakはStrikeより下目に現れます。
確かにそうですね。さらにもし60%DI PUTであれば、80%付近でVegaが最大となるイメージです。

>大域的にとらえれば、一見したGamma ShortがLongに見えてきますよ。
私はまだ経験不足なので、どうしてもGamma Shortに見えてしまいます・・・。

>どうしてもGamma Shortに見えてしまいます・・・。

AC系の場合、多重数値積分で解くのではなくモンテカルロか何かで計算していることと思われます。
その場合、Deltaの定義と言うのは、微分ではなく数値差分で計算しているはずですが、その幅
は1%だったりするわけです。Delta:={f(S×1.01,)-f(S×0.99)}/2

1%数値差分の根拠は何か?　それは株のIV水準15%程度に帰着していて、1day1σが大体
1%程度だからと言うことです。
トレーディング頻度を落とすとその数値幅を広げて計算することが有意義になってきます。
実際に過去の記事でGammaがマイルドになっている事例を計算しています。

2008.08.13: Vanilla基礎　GammaとVolatility
http://www.ichizoku.net/2008/08/vanillagammavolatility.html

ここでやっているように、Trigger直前のポジションのデルタの推移を追ってみて下さい。
現値100として、1%刻みで追えば、おそらくガンマショートです。
もし5%刻みで追ったらデルタはどのように推移してますか?

エキゾ様、非常にわかりやすい解説をありがとうございます。

>Delta:={f(S×1.01,)-f(S×0.99)}/2
両側差分で計算ですね。確かにPLはPVの差分ですし、DeltaはPVのBumpを用いています。

一つこれに絡んで質問なのですが、Δ・ΓをRegressionした方が良い、しない方が良いという議論があると思いますが、こちらについてはどうお考えでしょうか？

>1day1σが大体1%程度だから
目から鱗でした。確かに実際のヘッジまで真剣に考えると、そういう考え方もありますね。

>Δ・ΓをRegressionした方が良い、しない方が良いという議論があると思います

私の生きている次元が低いせいか、そういう議論がありません・・・(爆)
GreeksをSのn次関数で記述し、スムージングを試みるということでしょうか?
そうだとすると問題がいくつかあります。

株価Sの範囲　上限定められますか?　ACでCouponがFixだったら上押さえられますが
　Sに連動したUpside有りのCall Option型Couponだったりするとどこまでを
　範囲とするかの判断が難しくなってきます。

Payoffの不連続性　5次くらいまで取れば、結構大丈夫です。ただUnderlyingは
　何でしょう? Volatilityが低ければ低いほど、難しくなると思います。
　失礼、PVは5次で充分だとしてもGreekは違うかもしれませんね。
　私が何をやっていたかわかりますか?　これ↑はヒントです。

でも脳内Regressionはやっているものなのではないでしょうか?
Trigger当日あるいはKnock-Inに近づいた日は、値段毎にΔは前日に計算しておき、
頭に入っていませんか?

1%数値差分か5%数値差分かというのと同じ話ですが、回帰のきめ細かさも影響します。
私の脳内Regressは荒い目でやっているということです。

こんばんは。

>Payoffの不連続性
確かにおっしゃる通りですね。ちょっと反省しています。

>値段毎にΔは前日に計算しておき、頭に入っていませんか?
ポジションを持っていないので何とも言えませんが値段毎にΔを計算して頭に入れておくという気持ちは凄く分かります。

いろいろと教えていただきましてありがとうございます。

こちらこそ。楽しいキャッチボールでした。
本で学ぼうにも、なかなか難しい世界であることは、私も十分に存じております。
どの記事でもわからないことがありましたら、気軽に質問してください。

Sleeping-Jedi様　はじめまして。よろしくお願いいたします。

>実際にLV使ってACのStatic Hedge（Semi-Static含む）を実現する

本文中に書いてますが、それは実現できないのです。
Static Hedgeに近づけると、境界付近での無限のロングショートがでてくるか
と思います。それは当然で、Static Hedgeができるなら、ExoticはVanillaの線形
和で記述できることになり、存在意義がなくなります。

>bucket毎のVega,Vanna,VolgaをNeutralにするようにReplicateして余ったGamma,Thetaは応相談

大まかに考えて、同一の資金量の場合の各Greekの大きさは
Deltaの大きさを基準とするなら、
株価S以外の一次微分(Vega,Theta,etc)とGammaがそれよりも1～2桁低く、
二次微分以降(Vanna,Volga,etc)はGammaよりも1～2桁低いことが想定されます。
まずはDelta、そしてGamma,Vegaと消していくというのが常識的なステップですが
どうもVegaが消えきらない時、それがVannaやVolgaに起因するのであれば、
そこはHedgeで"小さく"しておくという手順になるかと思います。

>Vegaもそうですが、Vanna,Volgaまで含めるとHedge数量がかなり多くなる

非経路依存型であればVegaは満期にしかありません。一方、経路依存の典型で
ある連続参照Knock-Inでは至るところにVega Exposureがあるわけですが、それを
LVで各点の微小変化をとり・・・なんてことはするだけコストの無駄かと思われます。

片目をつぶって、境界を除く大体の部分でGammaとVegaが小さくなるような
Tradableな組みを見つけることになります。2-3つのオプションの和で意外と
綺麗になるものです。(ですが、あくまで境界を除く)

>加えて質問なのですが、エキゾ様はLV使う時、Local Vol Surfaceを意識されていますか?

意識していません。脳内で構築できる計算力がございません。

>LV SurfaceはIV Surfaceから構築されるのでIVとIVに対するVegaを把握していれば十分で
>あるという認識は間違っているのでしょうか？

ぉっと。LVの哲学的問題に触れそうです。LVにおけるVegaの規定の問題ですね。

IVに対するVegaをLV Modelで常に問題なく計算できますか?
IVを1% Shiftさせたりすると、Arbitrage Freeが崩れたりしませんか?

LVは直接的に取引できないけど、IVはできる。だからIVベースのVegaが正当。
よく聞くこの理屈は、わかるんでございますが、IVもできない。IVではなくてPremiumですから。
IVはあくまで幾何ブラウン想定を一度かました、やはり二次複製の数値です。
何が言いたいかというと、オプションポートフォリオの中の複数のIVの動きを一様に表現するのは難しいです。

満期まで後一週間のオプションと5年、IVの動きと意味が全く違いますがVolatilityは
Volatilityです。IVのパラレルシフト想定??　本当?　どういう意味?

別にこんな事例もございますね。
18MonthのVolatility固定したまま、2yearのVolatilityを動かすのと、
両方同時に動かすのでは、18month～2yearのForward volatilityに対するImpact
がまるで違いますね。IVのSurfaceを作る時に各点独立に見ていたら、あまりにも不自然なFWD Vol
になってしまうことは多々ありますよね??　Local Volatilityを意識しているとまでは言えないと
思うのですが、Forward Volくらいは意識しないと日々のMark To Marketも不自然な仕上がり
になりそうな気がしています。

1年も昔の記事がこんな再燃して面白いですね。記事にするには、他の読者のために解説加えて・・・
とかやると時間かかるんで、とりあえず、コメントでバンバン発展させてしまいましょうか。
返信遅れてすいませんでした。書くのを忘れていました。

>LV使ったExoticのVega認識はどのように表現すれば正しい（最も管理しやすい）のでしょうか。

みんな同じことを悩むようですね。なぜならば、正解がないからです。
LVでもIVでも、もっと言えば、幾何ブラウンと鏡像原理でも良いんです。
計算根拠は何で、何を想定していて、実際とどう違うのか?　それはどのように影響するのか?
ということを知っておく必要がある。それだけです。モデルですから。毎度、同じことを言っていますが、
自らの主観をもって、リスク値を計算する必要があります。それこそがデリバティブの相場観なのです。
株が上がる下がる、Volaが上がる下がるではないのです。
Vegaはいくらなのですか?　どうVegaを認識するのですか?　これが相場観なのですよ。

>Strike-MaturityのMatrix（上記のようにLVでは計算できない可能性あります）で把握するのが最も管理しやすい

どうやってトレーディングしてるのですか?　何人居てどういうインフラ持ってるのですか?
エキゾのポジションはどういうポジションですか?　

こういうのに依ると思うのです。