数学を使わないオプション解説 Gammaって?

【Gamma】

これは当ブログの最重要単語であるのだが、正確な定義を数式で書くとまた読み飛ばされてしまうので、字で書くようにしよう。
Gammaとは、曲がっていることである。主語はここでは損益曲線を指す。

例えば、100円の株を1株買ったとしよう。
100円で損得無しの0円、101円で+1円儲け、102円で+2円儲け、99円で-1円損失、というように縦軸に損益、
横軸に株価を取れば綺麗な直線を描く。株は常に直線で、2株の場合は、傾きが2倍すなわち傾き2の直線になるだけで
ある。
1株持っている時の損益曲線の傾きは1で、この傾きのことを、この世界ではDeltaと呼んでいる
1株持っている時は、Deltaが1、2株持っている時はDeltaが2という数値を伴った概念である。

この傾きが大事で、傾きが常に一定の線を直線と言い、傾きが変動する線を曲線という
株の場合、何株持っていようが、傾きは常に一定なので、傾きの変動が0。つまりGamma=0なのである。これは先物でも先
渡でも同じで、全てGamma=0の世界なのである。ガンマ無き者デリバティブに非ずのガンマ無き者とはGamma=0のデリバ
ティブである先物や先渡を指している。実際に金融機関において、ガンマの無いデリバティブは、"株"の部隊が扱うことが多く
"デリバティブ"の部隊が扱うことは少ない。この曲線、曲がり具合こそがデリバティブの本質なのである。

一方で、全く状況の違う金利の世界ではGammaの代わりにConvexityと呼ばれるが、金利の連中がGammaこそが
デリバティブであるという意識が無い理由は、現物である債券にもConvexityは存在するからである

債券そのもので考えれば、当然のことながら100円で買った債券を101円で売れば1円儲かるのであるが、彼らの世界では
Priceよりは金利で表示する傾向があり、100円ではなく、3.0%とクオートするのである。金利に対する債券価格の傾き、
すなわち、株の世界でのDeltaをDurationと呼び、それに対応するGammaをConvexityと呼んでいるので、
債券現物であってもGammaは登場するからなのである。

ただし、GammaとConvexityは数学上は全く同じもので、単に"曲がり具合"を意味しているのだが両者の発生起源
は全く異なる
ものであることに注意が必要である。
まず、簡単な金利のConvexityの源泉から説明しよう。
複利の考えでは金利にも金利がつくので、トイチ(10日で1割の金利)に対して支払う金額は30日間で
(1+10%)*(1+10%)*(1+10%)=(1+10%)^3となり、30日で、133.1%の金利になるが、金利が11%
だと136.76%、12%だと140.49%となり、金利に対して支払額が指数関数的に増えていくことが要因である。

一方、オプションのGammaの発生起源は、突然変異とご都合主義による。もう少し具体的に言おう。グラフを見て欲しい。
CallOPPayoff.png
株式投資は緑の線で、買値Xを中心とする直線になる。一方、オプションは、青い線となるので、儲かった時だけ儲け分をもら
え、外した時は、一定金額で良いというのがオプションの本義なのである。本来の株式投資に振り返ってみたときに、株で儲
かった分は、そのままもらえて、損した時は何も払わなくて良いというご都合主義がまかり通る。であるから、もしオプションが
0円で買えるのであれば、負けることは絶対に無いが、オプションは残念ながらFreeではない。オプションの価格が赤い線の
幅がオプションプレミアムであるので、その分だけリターンが下がる。

具体的に数値を入れると、Strike Xのところが100円である。株価が100円以上になったら、100円で株を買ったことにしてくれる。
100円以下だったら、何もしていないことになる。この株価100円をまたいだ突然変異、言い換えれば、結果を見てから株を
買っておいたことにするか、買わなかったことにするか選択できる権利="オプション" がGammaの源泉
なのである。

Gammaとは何か? がおわかりいただけただろうか?


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