遠心力対万有引力 北極で測る体重と赤道直下で測る体重

日本で買った体重計の注意書きに、海外では使えないと書いてあったそうだ。
電池で動く体重計の海外の使用制限とはいかなる理由なのか?
まさか重力の影響で北極で測る体重と赤道直下で測る体重が違うからなのか?

ということを聞いてきた人が居たので、思い出しながら計算してみた。
聞かれた場所はインターネットが使えない場所。
記憶の限りを使って証明する必要がある。間違っていたらコメントで指摘して欲しい。

まずは万有引力となるので、これが北極の体重。

一方で、赤道直下では、遠心力がフルに働くはずなので、まずは
地球の回転する角速度(1/s)
ω=2π/(24*60*60)
地球の回転する速度 ωr (m/s)
この等速円運動の加速度は、絵を描きながら思い出そう。
omega.JPG
ω->0の近似で考えれば、垂直方向に
ωr・sin(ω)=r・ω^2 な感じになるだろう。
遠心力そのものは、mr・ω^2

赤道直下で測る体重は

であるから、の比率がどの程度あるかで、影響度合いが測れそうだ。
万有引力定数や地球の質量がいくらかはインターネットなしに思い出すことはできないので、
思い出せる重力加速度 g=GM/r^2=9.8m/s^2を使いたい。

かなり良い線まできているが、地球の半径もアルツの影響で忘れているが、
光は一秒間で地球を7回り半。秒速30万kmと記憶がある。よって、地球の周囲は
300,000,000m/7.5=40,000,000m
地球の半径は、40,000,000/2π=40,000,000/(2*3.14)
これで全ての数値が求まったので、計算すると
40,000,000/2π * (2π/(24*60*60) )^2 / g = 0.34% ほどになる。
よって、体重60kgの人である場合、200g程度の影響があるということになる。

これ、あってる??
ネットでは違う答えだしている人も居るのですよ。

【みんなが嫌いな数式シリーズ】
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Comments [3]

数学の話は嫌いですが、投資の話は楽しく読んでます(笑)
ネットでチラッと見たら、極半径と赤道半径に22kmの差が
あるようですね。遠心力の影響で膨らんでいるんでしょうか。
半径に対する誤差の割合は計算過程で二乗してますから、
こちらの方が影響が大きいようですね。
0.7%影響があるようです。
計算はおみごとですね。スバラシ

なかなかたのしいブログで、おもしろく読ませてもらいました。

貴計算、まったくすばらしいものだとおもいます。地球の半径を「光は1秒間に地球を7周り半する」ことを使われていることなど、むかし取った杵柄はすばらしいものですね。(ナポレオンでしたっけ? 地球を測ってメートル法を決めたのは。そのとき、赤道から北極まで、10,000 km としてのでしたっけ。これだと、桁数や単位があやふやで、7周り半の方が正確ですね。)

直接に地球の半径 6.378 x 10**6 (m)をいれると、
R * omega**2 / g = 0.00344
となります。たしかに、0.34 % の体重減少になります。

夏休みの宿題をやった気分です。

ありがとうございました。
nomonomonomo

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